深秋的清晨,雾气还未完全散去,阳光透过教学楼的玻璃窗,在阶梯教室里投下斑驳的光影。高数课总是安排在这样让人有些昏沉的时段,黑板上密密麻麻的公式、老师口中不断蹦出的专业术语,像一张无形的网,将苏念牢牢困住。
这节课讲的是“拉格朗日中值定理”,光是听名字,苏念就觉得头皮发麻。她坐在教室中间靠窗的位置,面前摊着崭新的高数课本和笔记本,笔尖悬在纸上,却迟迟落不下去。讲台上,高数老师推了推鼻梁上的眼镜,语速平稳地推导着定理公式:“如果函数f(x)满足在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那么在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)……”
老师的声音像是带着催眠的魔力,那些符号、字母在苏念眼前不断跳跃、旋转,组合成她完全无法理解的模样。她使劲眨了眨眼,试图集中注意力,紧紧盯着黑板上的推导过程,可大脑就像一团被揉乱的毛线,越理越乱。当老师开始讲解定理的几何意义时,苏念更是彻底懵了,眉头紧紧蹙起,形成一个深深的“川”字,眼神里充满了困惑和茫然。
她下意识地转头看向窗外,试图让紧绷的神经放松一下。操场上有早起跑步的同学,树叶被风吹得沙沙作响,可这一切都无法驱散她心中的焦虑。高数作为专业基础课,学分占比极高,要是跟不上进度,期末挂科就惨了。之前的几节课,她还能勉强跟上老师的思路,可这节课的拉格朗日中值定理,复杂程度远超她的预期,让她第一次对高数产生了深深的无力感。
“大家注意一下,这里的ξ是区间(a,b)内的某一点,不是任意一点,这是定理的核心,也是易错点。”老师的声音再次传来,苏念连忙收回目光,重新看向黑板,可依旧无法理解“存在一点ξ”到底是什么意思。她咬了咬嘴唇,手指无意识地抠着笔记本的边缘,把纸张都抠得有些发皱。
坐在苏念斜前方的陆星延,早就注意到了她的异常。从老师开始讲解拉格朗日中值定理起,他就时不时用余光瞥向苏念,看到她频频皱眉、眼神涣散的样子,就知道她肯定没听懂。陆星延的高数成绩一直很好,对于这些定理公式,他不仅能熟练掌握,还能快速找到最简单的理解方式。
他没有立刻打扰苏念,而是先认真听老师讲课,同时在草稿纸上快速记下重点。等老师讲到定理的几何意义时,陆星延停下了笔,开始思考怎么才能让苏念更容易理解。他知道苏念的逻辑思维能力不算弱,只是对抽象的数学概念有些敏感,需要用更直观的方式来拆解。
陆星延拿起笔,在草稿纸的左侧画了一条平滑的曲线,标注出起点A(a,f(a))和终点B(b,f(b)),然后用直尺连接起A和B两点,画出一条弦线。接着,他在曲线上找了一点C(ξ,f(ξ)),过C点画了一条切线,在旁边标注道:“切线斜率=f’(ξ),弦线AB斜率=(f(b)-f(a))/(b-a),定理核心:存在C点,使切线与弦线平行。”
画完图形,他又在草稿纸的右侧写下定理的条件和结论,用不同颜色的笔标注出重点:“条件1:闭区间连续(曲线无断点);条件2:开区间可导(曲线无尖点);结论:存在ξ∈(a,b),满足f’(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。”
之后,他还特意列出了“易错点”:1. 忽略定理的两个前提条件,直接套用公式;2. 误以为ξ是唯一的,实际上可能存在多个;3. 混淆“闭区间”和“开区间”的要求。每一个易错点后面,他都简单写了一句提醒,语言简洁明了,让人一眼就能看懂。
整个过程中,陆星延做得很隐蔽,没有发出任何声音,也没有让周围的同学察觉到。他只是偶尔抬头听老师讲几句,确认自己没有遗漏重点,然后继续完善草稿纸上的内容,力求让每一个步骤、每一个标注都清晰易懂。
下课铃声响起的那一刻,老师合上教案,叮嘱道:“这部分内容比较重要,大家回去后一定要好好复习,多做练习题巩固一下,有不懂的地方可以随时来问我。”说完,便拿着教案离开了教室。
教室里立刻响起了同学们收拾东西的声音,还有不少人围在一起讨论刚才的知识点。苏念依旧坐在座位上,看着笔记本上空白的页面,心里充满了沮丧。她想上前问问老师,可又觉得自己的问题太基础,不好意思开口;想问问身边的同学,又不知道该从何问起。
就在这时,一张写满了字迹和图形的草稿纸,轻轻放在了她的面前。苏念抬起头,看到陆星延正站在她的课桌旁,脸上带着温和的笑容,眼神里没有丝毫的不耐烦,只有真诚的关切。
“这是我刚才整理的,你看看能不能看懂。”陆星延的声音很轻,带着恰到好处的温柔,“拉格朗日中值定理确实有点难,不懂的地方可以问我,别硬撑。”
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