RPA计算比之前的一圈图修正更为复杂，它涉及到计算规范场的极化率 bubble 图，然后将其代入Dyson方程，得到重整化的规范场传播子。不稳定性出现在重整化传播子出现极点（即发散）时。这需要计算复杂的费曼图积分，并自洽地求解方程。刘逸再次被淹没在繁复的代数中，但他已经逐渐习惯了这种强度。推导、编程、调试、分析结果……周而复始。他偶尔会和李叶交流场论技术上的心得，比如如何处理发散积分，如何数值求解自洽方程。两人虽然模型不同，但在场论技巧上有很多共通之处，这种交流往往能互相启发。
方文教授对刘逸的进展保持着密切关注。每周的讨论，刘逸都需要汇报新的推导结果和遇到的困难。方教授依然严厉，会尖锐地指出推导中的漏洞、近似的合理性、以及物理解释的模糊之处。但刘逸能感觉到，导师的态度在发生微妙的变化。批评依然存在，但不再仅仅是斥责，更多是建设性的、引导式的提问。有时，当他提出一个不错的想法，或者解决了一个技术难点时，方教授甚至会微微点头，简短地评价一句“有进步”。这对刘逸而言，已是莫大的鼓励。他逐渐明白，方教授的严格，并非针对他个人，而是源于对研究工作本身严谨性的极高要求。当你展现出与之匹配的努力和潜力时，你就能赢得他的尊重和指导。
张海峰依然在他那片名为“负符号问题”的沼泽中艰难跋涉，但似乎，在无尽的黑暗摸索中，前方终于出现了一丝极其微弱的光亮。在经历了无数次复 Langevin 方法的不稳定和错误结果后，他将目光转向了另一个更为复杂、但也理论上更严格的方法： Lefschetz 硫柱 (thimble) 方法。这个方法的核心思想，是将原本在实轴上进行、因快速振荡而导致符号问题的路径积分，通过解析延拓，变形到复空间中的稳定流形（即 Lefschetz 硫柱）上进行。沿着这些硫柱，被积函数的相位变化平缓，从而缓解甚至消除符号问题。
然而，实现这一想法异常困难。首先，需要找到被积函数（即作用量）在复空间中的临界点（即梯度为零的点）。对于多变量复杂作用量，这本身就是一个高维非线性方程的求解问题。其次，需要从这些临界点出发，构造出对应的稳定流形（硫柱），这涉及到解一组常微分方程（梯度下降流方程）。最后，还需要计算沿这些流形积分的雅可比行列式，并处理多个硫柱贡献的叠加（如果存在多个相关临界点的话）。
张海峰几乎是硬着头皮开始学习这个方法的数学基础。他阅读了提出该方法的原始论文，以及后续一些应用于场论和统计物理的文献。复杂的复分析、微分几何概念让他头晕目眩，但别无选择。他选择了一个尽可能简单的模型——一维 Hubbard 模型在有限化学势下——作为“试验田”，尝试实现硫柱方法。即使对于这个简化模型，计算也异常繁重。他需要编写程序寻找复空间中的临界点，这通常需要用到诸如牛顿-拉夫森法等数值优化算法，并且对初始猜测非常敏感。然后，他需要数值求解梯度流方程，以构造硫柱。
过程充满了挫折。程序常常无法收敛到正确的临界点，或者梯度流方程数值求解不稳定，导致构造出的硫柱不准确。他需要不断调整算法参数，尝试不同的数值积分方法。有时，程序能跑出看似合理的结果，但与已知的精确解或没有符号问题的其他方法结果一对比，却发现存在明显偏差。这意味着他的实践中还有隐藏的错误。
但这一次，张海峰没有像以前那样轻易放弃。或许是多次失败磨砺了他的耐心，或许是他内心深处的不甘被彻底激发。他将每一次失败都详细记录在日志中，分析可能的原因，然后逐一尝试改进。他开始在相关的学术论坛和邮件列表上小心翼翼地向国际同行请教，尽管大多石沉大海，但偶尔一两条有价值的回复，都能让他兴奋半天，并给他新的调试思路。
经过不知多少次的尝试和修改，终于，在一个凌晨，当他再次运行优化后的程序，将得到的一维 Hubbard 模型某些物理量（如双占据数）的结果，与基于贝特拟设的精确解进行比对时，两组曲线在误差范围内基本重合了！
张海峰几乎不敢相信自己的眼睛。他反复检查了输入参数、代码、以及对比数据。确认无误后，一股混杂着狂喜、疲惫和难以置信的复杂情绪瞬间淹没了他。他猛地从椅子上站起来，在狭小的机房里来回走了几步，想欢呼，又强行忍住，最终只是用力挥了挥拳头，低声吼了一句：“他妈的……终于……”
这远非胜利。这仅仅意味着，对于这个简化的一维模型，他的硫柱方法实现很可能是正确的。距离解决他真正关心的、更复杂的二维或更高维强关联模型的负符号问题，还有十万八千里。而且，硫柱方法的计算复杂度随着系统尺寸和相互作用强度急剧增加，能否扩展到有实际意义的模型还是未知数。但这小小的成功，如同在漫长黑暗隧道尽头看到的一星火光，给了他继续前进的勇气和希望。至少，这条路径，在原理上是可行的。剩下的，是优化、扩展、以及无尽的调试。
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