下课铃声清脆地响起,教室里顿时热闹起来。同学们纷纷起身,有的伸懒腰,有的凑在一起讨论刚才的数学题。宛秋合上笔记本,轻轻推了推还在座位上发呆的幼薇:“走啦,去洗手间。”
“嗯嗯。”幼薇这才回过神来,把笔塞进笔袋,蹦跳着跟上。
走廊上阳光正好,瓷砖地面映着窗外摇曳的树影。两人并肩走着,忽然在转角处停下了脚步——那里靠墙立着一块老旧的黑板,原本是美术老师用来张贴学生作品的展示板,此刻却被密密麻麻写满了公式。
“这是……”宛秋微微睁大眼睛。
黑板中央,用白色粉笔写着一道极其复杂的方程:
$$
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \cos(2ax) dx = \sqrt{\pi}e^{-a^2}
$$
下方还附有一行小字:“若你能解此式,请写下三种不同方法,并说明物理意义。”
字迹苍劲有力,落款只有一个字母:**L**。
“哇。”幼薇低呼一声,眼睛瞬间亮了起来,“这可不是普通的微积分题,这是高斯积分和傅里叶变换结合的经典模型!谁会在这里出这种题?”
宛秋已经蹲下身捡起一根掉落的粉笔,指尖轻抚过那些符号,像是在确认它们的真实性。“有人想考我们。”她轻声说,“而且……他知道我们会看懂。”
“那还等什么?”幼薇也拾起一支粉笔,站到黑板前,嘴角扬起自信的笑容,“咱们就让他看看,五年级三班也不是好糊弄的。”
第一种解法,由宛秋执笔。
她深吸一口气,在左侧空白处写下标题:**“复变函数法:构造解析延拓”**。
她从最基础的极坐标变换入手,引入复指数函数 $ e^{-(x-ia)^2} $,通过围道积分与柯西定理,证明其在整个复平面上全纯,并利用无穷远衰减性将实轴积分转化为标准高斯积分。每一步都精准如钟表齿轮咬合,最后得出右边结果时,她在等号后重重一点。
“漂亮。”幼薇点头,“严谨,但需要较强的理论背景。普通人看不懂。”
于是她走上前,写下第二标题:**“对称性降维 + 参数微分法”**。
“你看,”她边写边解释,仿佛在给看不见的观众讲课,“令 $ I(a) = \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\cos(2ax)\,dx $,两边对 $ a $ 求导,得到一个关于 $ I(a) $ 的微分方程。”
她快速演算,利用奇偶性和分部积分化简,最终构建出一阶线性微分方程:
$$
I(a) = -2a I(a)
$$
初始条件 $ I(0) = \sqrt{\pi} $ 易得,通解即为 $ I(a) = \sqrt{\pi}e^{-a^2} $。
“简洁!”宛秋忍不住赞叹,“这才是教学级解法。”
第三种,则是她们一起完成的:**“量子力学类比法:谐振子基态波函数投影”**。
“还记得上次表姐给我们讲薛定谔方程吗?”幼薇眨眨眼,“一维谐振子的基态是高斯型波函数,而位置空间到动量空间的变换,本质上就是傅里叶变换。”
宛秋接上:“所以这个积分,其实是基态在动量表象下的重叠积分,具有明确的物理图像——它是自由粒子传播子在特定参数下的表现形式。”
她们画出了简单的能级图,标注了归一化常数,最后用红粉笔圈出答案。
三道解法整齐排列,逻辑各异却殊途同归。整块黑板宛如一幅思维画卷,在午后的光影中静静散发着智慧的光泽。
远处传来上课铃声,清越悠长。
“哎呀!要迟到了!”幼薇慌忙放下粉笔。
“等等。”宛秋忽然指着黑板右下角——原先空无一物的地方,不知何时多了一行极小的字迹,墨绿色,像是用手指蘸水写的:
> “你们比我想象中更快。
> 下次,我会放一道关于时间反演对称性的题目。
> ——L”
两人对视一眼,心跳同时快了一拍。
“表姐的朋友?”幼薇猜测。
“或者……”宛秋低声说,“是我们还没见过的老师?”
铃声再度催促,她们来不及细想,转身朝教室奔去。裙摆在风中轻扬,像两片追逐光的叶子。
而那块神秘的黑板,静静伫立原地,仿佛只是校园里再普通不过的一角。唯有粉笔灰缓缓飘落,记录着刚刚发生过的、不属于课本的奇迹。
喜欢满级母女的日常生活与诸天旅行请大家收藏:(www.suyingwang.net)满级母女的日常生活与诸天旅行三月天更新速度全网最快。